设A为n阶正定矩阵，B是与A合同的n阶矩阵，证明B也是正定矩阵.
答案是：存在|非零向量
设A为实2阶方阵，且|A|<0.证明：A与对角矩阵相似.
答案是：两个|不同的特征值|相似
设A为n阶矩阵，、是A的两个不同的特征值，x1、x2依次是属于、的特征向量，试证明x1+x2不是A的特征向量.
答案是：不等于
设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+2α3，α2-α3，α1+2α2线性相关.
答案是：行列式|等于0|线性相关
设n阶方阵A满足A2-A-2E=0,证明A和E-A可逆.
答案是：A-E|A可逆|A|E-A可逆
二次型∫(x1,x2)=2x^21+2x1x2-x^22的秩为_________
答案是：2
设矩阵A=(1 1 0;1 2+a 0;0 0 1-a)为正定矩阵，则a的取值范围是_________
答案是：-1
二次型∫(x1,x2,x3,x4)=x^21+2x^22-3x^23-4x^24的正惯性指数为__________
答案是：2
设实二次型f(x1,x2)=x^21+tx1x2+4x^22，则当t的取值为_____时，二次型f(x1,x2)是正定的.
答案是：-4
实二次型f(x1,x2,x3)=x^21+2x2x3的正惯性指数p＝______________
答案是：2
若实二次型∫(x1,x2,x3)=x^21+4x^22+x^23+2tx1x2正定，则t的取值范围是_____
答案是：-2
若实二次型正定，则t的取值范围是_____
答案是：-2
二次型f(x1,x2)= x1x2的负惯性指数是_________
答案是：1
设实二次型f(x1,x2,x3)=x^21+2x1x2+2x^22+ax^23则当a的取值为_______时，二次型f(x1,x2,x3)是正定的.
答案是：大于0
设二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx经正交变换化为标准形y^21+5y^22，则A的最小的特征值是
答案是：1
二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为______
答案是：3
用配方法化二次型f(x1,x2,x3)= x1x2+ x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换.
答案是：系数为1，-1/4
设实二次型f(x1,x2,x3)=2x^21+3x^22+3x^23-4x2x3 ，试求正交变换P化二次型f(x1,x2,x3)为标准形.
答案是：特征值为1,2,5，求出特征向量，正交化、单位化
设∫(x,y,z)=x^2+2y^2+4z^2+2axy+4yz 为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围.
答案是：-1
判别二次型f(x1,x2,x3)=2x21+5x22+4x23-2x1x2-6x2x3是否正定?说明理由.
答案是：正定，所有顺序主子式都大于零
试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=x^21+2x^22-3x^23+4x1x2-4x1x3-4x2x3，
并写出所用的满秩线性变换
答案是：标准形的系数分别是1，-2，-5
设三阶方阵A的特征值为1，-1，-1，且B=A2，则B的特征值为___
答案是：1,1,1
设a1,a2分别属于方阵A的不同特征值λ1,λ2的特征向量，则a1与a2必线性___
答案是：无关
若λ=3是可逆方阵A的一个特征值，则A^-1必有一个特征值为_____
答案是：1/3
设A为3阶方阵,其特征值为3,-1,2,则|A|=____________
答案是：-6
设A为n阶方阵，|A|=4，若A有特征值λ=2，则A^*必有特征值_____________
答案是：8
n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A可对角化的__________条件.
答案是：充分
设矩阵A=(0 0 1;0 1 0;1 0 0)，则A的全部特征值为
答案是：1,1,-1
若λ=0是方阵A的一个特征值，则方阵A的行列式的值为____
答案是：0
设矩阵A=[1 0 0;0 2 0;0 0 3]，则A的特征值为___
答案是：1,2,3
设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为
答案是：-2
求矩阵A=(-1 2 2;-2 3 0;0 0 2)的所有特征值，指出A能否与对角矩阵相似，并说明理由.
答案是：写出特征多项式，解特征方程，得特征值是1,1,2，解方程组得到相应特征向量，只有两个线性无关的特征向量，不能与对角阵相似
已知A=[2 5 -1;-1 a b;2 3 -2]的一个特征向量是ξ =(1，1，-1)^T（1）确定a,b以及ξ 的特征值。（2）求r(A)
答案是：a=-3，b=0，特征值为-1，r(A)=3
设A=[1 2 2;2 1 2;2 2 1]，求A的特征值及对应的特征向量.
答案是：写出特征多项式，解特征方程，得特征值是-1，-1,5，解方程组得到相应特征向量
A=(-1 -4 1;1 3 0;0 0 2)，求A的特征值和特征向量.
答案是：写出特征多项式，解特征方程，得特征值是1，1,2，解方程组得到相应特征向量
设矩阵A=(0 -2 2;-2 -3 4;2 4 -3)的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T^-1AT=D.
答案是：求出各个特征值对应的特征向量，正交化、单位化，得到正交矩阵，对角矩阵的对角线元素分别是1,1，-8
若α1，α2，α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则A（3α1-5α2+2α3）=___
答案是：0
设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为__________________
答案是：1
n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩r
答案是：n-r
设齐次线性方程组(a 1 1;1 a 1;1 1 a)(x1 x2x3)＝(0 0 0)的解空间的维数是2，则a＝______
答案是：1
设a1,a2,a3是方程组Ax=θ的基础解系，则向量组a1,a2,a3的秩为__________
答案是：3
设齐次线性方程组{-x+y=0;x+ky=0;4x+y+z=0 有非零解，则k=_____
答案是：-1
λ=_______时，方程组{λx1+x2+x3=0;x1+λx2+x3=0;x1+x2+λx3=0 有非零解
答案是：1或-2
若线性方程组{x1-2x2+3x3=-1;2x2-x3=2;λx3=λ+2无解，则λ=
答案是：0
若与四元齐次线性方程组AX=0的同解方程组{x1=-3x3;x2=0是，则矩阵A的秩为_______；AX=0的基础解系有______个解向量.
答案是：2,2
设A是m×n矩阵，A的秩为r(
答案是：n-r
求线性方程组{x1+x2+x3=2;x1+x2+2x3=3;x1+x2+3x3=4的通解.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
答案是：增广矩阵进行初等行变换化成阶梯形，通解为（1,0,1）+k（-1,1,0）
解方程组求通解 {x1+5x2-x3-x4=0;x1-2x2+x3+3x4=0;3x1+8x2-x3+x4=0;x1-9x2+3x3+7x4=0
答案是：系数矩阵进行初等行变换化成阶梯形，通解为a（-3,2,7,0）+b（3,0,2,1）
当a为何值时，方程组{x1+x2+x3+x4=1;x1+2x2+x3+2x4=2;2x1+3x2+2x3+3x4=a 有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表出）.
答案是：增广矩阵进行初等行变换化成阶梯形，a=3时有解，通解为（0,1,0,0）+k（-1，-1,1,0）
求非齐次线性方程组{x1+3x3-x4=1;-x1+x2+2x3+x4=0;x1-x2-2x3+2x4=- 2/1 的通解.
答案是：增广矩阵进行初等行变换化成阶梯形，求出通解为（0.5,0，0，-0.5）+k（-3，-5,1,0）
已知四元线性方程组Ⅰ:{x1+x2=0 x2-x4=0 Ⅱ:{x1+x4=0 x2-x3=0 ，试求线性方程组Ⅰ和Ⅱ的全部公共解.
答案是：联合组成四元线性方程组，系数矩阵进行初等行变换化成阶梯形，求出通解，即为公共解k（-1,1,1,1）
向量组α1=（1，2，3，4），α2=（2，3，4，5），α3=（0，0，1，2）的秩为________
答案是：3
等价的线性无关向量组所含向量个数______
答案是：相等
设a=(2,1,-2), β=(1,2,3),则2a-3β=
答案是：（1，-4，-13）
设向量a1=（1,2,-1）,a2=(3,2,1),则内积(a1,a2)=
答案是：6
已知向量a=(3,2,4,5),β=(-1,5,1,-2),且a+ξ=β，则向量ξ=
答案是：（-4,3，-3，-7）
若向量组α1,α2,α3与向量组β1,β2,β3等价，其中β1=(1,0,0,0)T,β2=(0,1,0,0)T,
β3=(1,1,0,0)T，则向量组α1,α2,α3的秩为____
答案是：2
若β=(1,2,3)T可由α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T线性表示，即β=x1α1+
x2α2+x3α3，则x1=_____,x2=_____,x3=_____
答案是：1,2,3
已知4维向量α=(1,5,-2,3),β=(-1,5,0,7),若3α+2ζ=7β,则ζ=______
答案是：（-5,10,3,20）
设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=
答案是：-5
设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=
答案是：-10
设向量组a1=(2,1,3,1)^r，a2=(1,2,0,1)^r，a3=(-1,1,-3,0)^r，a4=(1,1,1,1)^r，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
答案是：向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，
求向量组α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.
答案是：作为列向量构造矩阵，进行初等行变换化为标准形，一个极大无关组为α1，α2，且α3=8.5α1+3.5α2，α4=α1+2α2
设向量组α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7),试求α1，α2，α3，α4，α5的一个最大线性无关组，并求其余向量由此最大线性无关组线性表
答案是：作为列向量构造矩阵，进行初等行变换化为标准形，一个最大线性无关组为α1，α2，且α3=2α1-α2，α4=α1+3α2，α5=-2α1-α2
设有向量组α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),
α5=(2,1,5,10),求该向量组的秩和一个最大无关组.
答案是：作为列向量构造矩阵，进行初等行变换化为阶梯形，秩为3，最大线性无关组为α1，α2，α4或α1，α3，α4或α1，α4,α5
给定向量组α1=(-2 1 0 3)，α2=(1 -3 2 4)，α3=(3 0 2 -1)，α4=(0 -1 4 9).
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
答案是：作为列向量构成矩阵，进行初等行变换化为标准形，是， 组合系数依次是2,1,1
设B是3阶矩阵，O是3阶零矩阵，r(B)=1,则分块矩阵(EB;OB)的秩为__
答案是：4
若A=[2 1 1;2 2 4;1 4 t]，且秩(A)=2，则t=________
答案是：11
设矩阵A=(1 0 0;0 2 0;1 0 1)，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=_______
答案是：2
已知P^-1AP=B，且｜B｜≠0，则|B|/|A|=____
答案是：1
已知4阶方阵A的秩为2，则秩(A*)=________
答案是：0
A是n阶方阵，|A|=1，则AA*=_________
答案是：E
A=[1 2 3 1;3 -1 2 -4;-1 2 1 3;-2 3 1 5],秩(A)=_______
答案是：2
设A是5阶方阵，|A|=-1,则|-2A|=____
答案是：32
|A|=1/4,则|A-1|=_____
答案是：4
设A=[2 1 0;1 1 0;0 0 2]，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=___
答案是：4
设矩阵A=(1 2 4;2 -3 1;a 1 a;1 0 b)的秩为2，求a，b.
答案是：进行初等行变换化阶梯形，a=-1，b=2
设矩阵C=A［(A-1)2+A*BA-1］A.
其中，A=[1 0 1;1 1 1;0 1 1],B=[1 4 7;2 5 8;3 6 9].
A*为A的伴随矩阵.
(1)化简C (2)计算det(C).
答案是：(1) E+|A|B (2) -2
已知B满足A2B+2A=4A2,其中A=[2/1 0 0;0 1 0;0 0 4/1],求B
答案是：为4E-2A-1 ，主对角线上为0,2，-4的对角矩阵
设A=[1 1 2 3,1 -1 1 1;1 3 3 5;4 -2 5 6;-3 -1 -5 -7]，求矩阵A的秩
答案是：进行初等行变换化阶梯形，秩为 2
已知矩阵A=(1 -1 1;3 1 7;2 k 5;k 1 3)，秩(A)=2，求k的值.
答案是：进行初等行变换化阶梯形，k为1
设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23
答案是：参考答案：
4
|1 3 9;1 5 25;1 6 36|= .
答案是：参考答案：
6
|1 3 2;2 1 3;3 2 1|=_______
答案是：参考答案：
18
行列式D=|k 1 2;2 k+1 0;0 0 2|中，k=_______时，D=0.
答案是：参考答案：
1或-2
设D＝|1 0 3 1;2 1 3 1;3 2 3 1;4 5 3 1|，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则
A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
答案是：参考答案：
0
|1 3 8;1 1 9;1 4 5|=__________.
答案是：参考答案：
5
行列式|0 2 1 1;0 0 2 0;1 1 0 0;2 0 0 0|=_______.
答案是：参考答案：
4
设方程组{x₁+2x₂=0 2x₁+kx₂=0 有非零解，则数k=__________
答案是：参考答案：
4
已知行列式|a 2 1;2 3 -1;1 0 1|=0，则数a=__________.
答案是：参考答案：
3
行列式|0 0 0 4;0 0 3 0;0 2 0 0;1 0 0 0|=__________.
答案是：参考答案：
24
算行列式D＝|4 1 1 1;1 4 1 1;1 1 4 1;1 1 1 4|
答案是：参考答案：
189
计算|1 1 1 1;1 2 3 4;1 3 6 10;1 4 10 20|
答案是：参考答案：
1
计算四阶行列式|1 -1 -1 -1 ;2 2 -2 -2;3 3 3 -3;4 4 4 4|
答案是：参考答案：
192
计算行列式D=|5 3 3 3;3 5 3 3;3 3 5 3 ;3 3 3 5|.
答案是：参考答案：
112
计算3阶行列式|123 249 367;23 49 67;3 9 7|.
答案是：参考答案：
0
下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ）
A．(1 1 3;1 2 0;3 0 0)B．(1 1 1;1 2 1;1 1 1)C．(1 -1 0;-1 2 0;0 0 1) D．(1 1 0;1 2 0 ;0 0 -1)
答案是：参考答案：C
二次型f(x1,x2,x3,x4)=x^21+x^22+5^23-4x^24+2x₁x₂的秩为（ ）
A．1 B． 2 C ．3 D．4
答案是：参考答案：C
二次型∫(x₁,x₂)=3x^21+4x^22的规范形是（ ）
A.y^21-y^22 B．-y^21-y^22 C．-y^21+y^22 D．y^21+y^22
答案是：参考答案：D
下列矩阵为正交矩阵的是（ ）
A.（2/√3 2/1;2/1 2/√3) B.(√5/2 - √5/1;√5/1 √5/2)
C
答案是：参考答案：B
二次型∫(x10x20x3)=(x1-x2-x3)^2+(x2+x3)^2+2x 3/2是（ ）
A.正定的 B.半正定的 C.负定的 D.不定的
答案是：参考答案：A
二次型∫(x10x20x3)=x 1/2+3x 2/2-4x 3/2+6x1x2+10x2x3的矩阵是（ ）
A.(1 3 5;3 3 0;5 0 -4) B.(1 0 0;6 3 0;0 10 -4 ) C.(1 3 0
答案是：参考答案：C
设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ ）
A．- 2/3 B．- 3/2 C．3/2 D．2/3
答案是：参考答案：B
若A=[2 0 0;0 0 1;0 1 x]与B=[2 0 0;0 1 0;0 0 -1]相似，则x=（ ）
A．-1 B． 0 C ．1 D．2
答案是：参考答案：B
设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A^-2必有一个特征值是（ ）
A．2/λ0 B．2λ0/1 C． λ^20/1 D．λ0/2
答案是：参考答案：C
设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（ ）
A．2/1λ0 B．2λ0/1 C．2λ0 D．λ0 /2
答案是：参考答案：D
A为实对称矩阵，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，则(x1，x2)=( ).
A. 1 B. –1 C 0
答案是：参考答案：C
已知矩阵(2 0 0;0 0 1;0 1 x)与矩阵(2 0 0;0 y 0;0 0 -1)相似，则（ ）
A. x=0,y=0 B. x=1,y= 1 C . x=1,y=
答案是：参考答案：D
设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（ ）
A．无解 B．有唯一解 C．有无穷多解 D．解的情况不能确定
答案是：参考答案：B
线性方程组{x1+x2-x3+x4-2x5=0;2x1+2x2-2x3+2x4+x5=0的基础解系中所含向量的个数为（ ）
A.1 B .2 C .3
答案是：参考答案：D
设非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，A为m×n矩阵，则必有( ).
A. m=n B. 秩(A)=m C. 秩(A)=n D. 秩(A)
答案是：参考答案：C
齐次线性方程组{x1+x2+x3=0;2x2-x3-x4=0的基础解系所含解向量的个数为（ ）
A.1 B.2
答案是：参考答案：B
已知β1、β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,a1、a2是其导出组Ax=0的一个基础解系，k1、k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成（ ）
A.k1a1+k2(β1+β2)+2/β1-β2 B.k1a1+
答案是：参考答案：D
设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ）
A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关
C.A的列向量组线性无关
答案是：参考答案：D
若线性方程组{x1-x2+2x3=1;x1-x2+λx3=2无解，则λ等于（ ）
A.2 B .1 C .0 D.-1
答案是：参考答案：A
设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.2/1η1+2/1η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是
答案是：参考答案：A
若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
答案是：参考答案：D
设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（ ）
A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量
B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例
C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性
答案是：参考答案：C
设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）
A．α1，α2，α1+α2 B．α1，α2，α1-α2
C．α1-α
答案是：参考答案：D
设A、B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（Ⅰ）是由A的行向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的行向量构成的向量组，则必有（ ）
A．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性无关 B．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C．若（
答案是：参考答案：C
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