[填空题,2.5分] 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立

答案是：消去律成立

[填空题,2.5分] a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群

答案是：同构

[填空题,2.5分] 一个有单位元的无零因子-交换环----称为

答案是：整环

[填空题,2.5分] 集合M的一个分类决定M的一个

答案是：等价关系

[填空题,2.5分] 集合M的一个等价关系决定M的一个

答案是：分类

[填空题,2.5分] 区间[1，2]上的运算},{minbabaaa的单位元是-------

答案是：2

[填空题,2.5分] 设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b， 方程ax=b , ya=b在G中

答案是：都有解

[填空题,2.5分] 循环群的子群仍为

答案是：循环群

[填空题,2.5分] a是代数系统)0,(A的元素，对任何Axx均成立xaxxx，则称a为

答案是：单位元

[填空题,2.5分] 如果 f 是A 与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff 1 ----------

答案是：a

[填空题,2.5分] 若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为

答案是：X

[填空题,2.5分] 若映射射既是单射又是满射，则称称为

答案是：双射

[填空题,2.5分] 已知群G中的元素a的阶等于50，则4 a的阶等于

答案是：25

[填空题,2.5分] 整数加群Z是

答案是：无限循环群

[填空题,2.5分] 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）

答案是：代数元

[填空题,2.5分] 设H,k是群G的两个子群，则

答案是：HK≤G|HK=KH

[填空题,2.5分] A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=

答案是：2

[填空题,2.5分] 群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的

答案是：唯一|唯一

[填空题,2.5分] 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是

答案是：一个最大理想

[填空题,2.5分] 整环I的一个元p 叫做一个素元，如果

答案是：p既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子

[论述题,2.5分] 两个都是偶置换

答案是：置换

[论述题,2.5分] 证 必要性：将b代入即可得

答案是：代入

[论述题,2.5分] 用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链

答案是：不同

[论述题,2.5分] 证明:如果群G中每个元素都满足方程exx2，则G必为交换群

答案是：交换群

[论述题,2.5分] 证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是

答案是：子环

[论述题,2.5分] 设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子

答案是：零因子

[论述题,2.5分] 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H 与K的交KHH仍然是G的一个子群

答案是：非空子集

[论述题,2.5分] S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗

答案是：子环

[论述题,2.5分] M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e

答案是：半群

[论述题,2.5分] 设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

答案是：陪集

[论述题,2.5分] 一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想

答案是：理想

[论述题,2.5分] 把把和和写成不相杂轮换的乘积

答案是：不相杂轮换

[论述题,2.5分] 设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构

答案是：同构

[论述题,2.5分] 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，，等等，可得总共8种

答案是：枚举法

[论述题,2.5分] 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算4444babaa作成群

答案是：结合律

[论述题,2.5分] 设E是所有偶数做成的集合，““”是数的乘法，则““”是E中的运算，（E，，）是一个代数系统，问（E，，）是不是群，为什么

答案是：代数系统

[论述题,2.5分] 环（R，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构

答案是：真子环

[论述题,2.5分] 写出三次对称群3S的所有子群并写出3S关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集

答案是：左陪集|右陪集

[论述题,2.5分] 非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

答案是：非零整环

[填空题,11.2分] A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=

答案是：2

[填空题,11.1分] a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群

答案是：同构

[填空题,11.1分] 已知群G中的元素a的阶等于50，则4 a的阶等于

答案是：25

除环

答案是：A中至少有两个元0和1（即环中有单位元）；(2)}0{\AAAA 构成乘法群。则称A是一个除环

零因子

答案是：设A是一个环，Abaa,，若00ab，且00a和00b，则称a为左零因子， b为右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子

环

答案是：环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统

[简答题,11.1分] 设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：aab当且仅当m︱a–b

答案是：若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]

[简答题,11.1分] 若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b

答案是：设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解

[简答题,11.1分] 设E是所有偶数做成的集合，““”是数的乘法，则““”是E中的运算，（E，，）是一个代数系统，问（E，，）是不是群，为什么？

答案是：E，，）不是群，因为（E，，）中无单位元

[填空题,14.8分] 一个有单位元的无零因子-交换环----称为

答案是：整环

[填空题,14.2分] 凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全------

答案是：同构

有限域

答案是：具有有限个元素的域，称为有限域

素域

答案是：设S是域F中的一个非空子集，则包含S的最小子域，称为由S生成的子域，记作。由元素1生成的子域称为素域

[简答题,14.2分] 设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

答案是：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}

[简答题,14.2分] 有限域具有以下的性质

答案是：若F是有限域，则F的特(characteristic)chF是某个素数域F的乘群),(((F的任何有限子群都是循环群

[简答题,14.2分] 素域和域的特征

答案是：域是环的一种，如果一个环至少含有0和1两个元素，每一个非零元均有逆元，即非零元构成乘法群，则此环称为除环，可交换的除环为域

[填空题,8.8分] 一个除环的中心是一个- -----

答案是：域

[填空题,7.6分] 全体不等于 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。

答案是：0

[填空题,7.6分] 每一个有限群都有与一个置换群

答案是：同构

[填空题,7.6分] 一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个

答案是：变换全

最小生成元集

答案是：如果果果果SG，且任何S的真子集的生成子群均不是G，则称S是G的极小生成元 集。任何一个生成子群都有一个极小生成元集。当当当S时，元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。

生成元集

答案是：设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由S生成的子群，记作 S，S称为它的生成元集

算术基本定理

答案是：每一个不等于1的正整数a可以分解为素数的幂之积

合数

答案是：除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数

素数

答案是：只能被1和它本身整除的正整数称为素数

[简答题,7.6分] 整数的运算

答案是：整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述

[简答题,7.6分] 整数

答案是：在近世代数中整数是最基本的代数系

[简答题,7.6分] 代表元

答案是：称为a所在的一个等价类，a称为这个等价类的代表元

[简答题,7.6分] 等价关系和等价类

答案是：等价关系是集合中一类重要的二元关系

[填空题,7.7分] 偶数环是 的子环

答案是：整数环

[填空题,7.1分] 环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个

答案是：交换环

[填空题,7.1分] 若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的

答案是：单位元

[填空题,7.1分] 设群G中元素a的阶为m，如果e a n ，那么m与n存在整除关系为--------

答案是：m|n

[填空题,7.1分] 无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------

答案是：特征

主理想环

答案是：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K 是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[ x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[ x]不是一个主理想整环

商群

答案是：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商 群，记为G/N .

理想

答案是：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有r∈R，a∈N => ra∈N，则称N是环R的一个左理想； 如果 r∈R，a∈N => ar∈N，则称N是环R的一个右理想； 如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用 符号N R表示。否则记为N R

主理想

答案是：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > .

[简答题,7.1分] 循环群

答案是：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a 的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。记G=(a)

[简答题,7.1分] 元素的阶

答案是：设G是一个群，a∈G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作|？|=m;若m不存在，则 ？ =∞

[简答题,7.1分] 群

答案是：群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元

[简答题,7.1分] 子半群

答案是：设S是半群，，≠TTS,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半

[简答题,7.1分] 逆元

答案是：在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元

[填空题,6.4分] 从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------

答案是：商群

[填空题,5.2分] 一个子群H的右、左陪集的个数----------

答案是：相等

[填空题,5.2分] 环Z8的零因子有 -----------------------

答案是：2,4,6

[填空题,5.2分] 可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————

答案是：24

[填空题,5.2分] 区间[1，2]上的运算},{minbabaaa的单位元是-------

答案是：2

[填空题,5.2分] 如果 f 是A 与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff 1 ----------

答案是：a

[填空题,5.2分] 群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的

答案是：唯一、唯一

素理想

答案是：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。 显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子， 亦即R是一个整环

欧氏环

答案是：设K是一个有单位元的整环，如果 （1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在； （2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环

惟一分解整环

答案是：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]是惟一分解整环

极大理想

答案是：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想

环

答案是：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示

正规子群

答案是：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

群

答案是：设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算。如果满足以下条件： （1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算 做成一个群。

[简答题,5.2分] 单位元

答案是：半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能 都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元

[简答题,5.2分] 证明代数运算

答案是：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算， 观察运算后的结果是否还在定义的集合中

[简答题,5.2分] 卡氏积与代数运算

答案是：{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B 不等于B*A.集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

[简答题,5.2分] 映射

答案是：单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像

[简答题,5.2分] 集合

答案是：A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A

[填空题,12.5分] 循环群的子群仍为

答案是：循环群

[填空题,12.5分] 整数加群Z是

答案是：无限循环群

[填空题,12.5分] 设H,k是群G的两个子群，则

答案是：HK≤G HK=KH

对称群

答案是：一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群

映射

答案是：单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像

[简答题,12.5分] 阶

答案是：子群的阶能整除大群的阶

[简答题,12.5分] 置换

答案是：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换

[简答题,12.5分] S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗

答案是：因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环

[填空题,17分] 设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b， 方程ax=b , ya=b在G中

答案是：都有解

[填空题,16.6分] 集合M的一个等价关系决定M的一个

答案是：分类

除环

答案是：A中至少有两个元0和1（即环中有单位元）；(2)}0{\AAAA 构成乘法群。则称A是一个除环

极大理想

答案是：整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想

[简答题,16.6分] Z[ i]={a + bi|a，b∈Z } 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并 且其单位群是{±1，±i } .

答案是：Z[ i ]作成有单位元的整环显然。又显然±1，±i均为其单位。下证：Z[ i ]没有别 的单位

[简答题,16.6分] 环同态基本定理

答案是：这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想

[填空题,14.8分] 集合M的一个分类决定M的一个

答案是：等价关系

[填空题,14.2分] 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）

答案是：E的每一个元都 F上的一个代数元

循环群

答案是：循环群的子群仍为循环群

流形

答案是：是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用 于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例

微分流形的数学定义

答案是：微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质

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