叙述集合外测度的定义。并证明如果E是R中一个可数集,则E的外测度为0.(本题10.0分)
答案是：答：设E⊆Rⁿ，{In}是一列开区间，且E⊆∑In
则称
m^.E=inf{∑|In||{In}是E的一个开覆盖}为集合E的外测度。
通过给出开覆盖，求出开覆盖测度下确界来证明有理数集测度为0
设f(x)定义在可测集D上,若f2在D上可测而且{f>0}是可测集,求证:f在D上可测。
答案是：解：对任意的实数a
若a=0，则{f>}可测
若a>0,则{f>a}={f>0}-{f2a}={f>0}∪{f2
[a,b]上的有界变差函数与单调函数有什么关系?
答案是：答案: 简单函数必为有界变差函数,但是有界变差函数不一定是单调函数,有界变差函数可以表示成单调函数之差。 ………………5分
可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系?
答案是：答案: 简单函数必是可测函数,但可测函数不一定是简单函数,可测函数一定可表示成简单函
设函数f(x)=x2,x�[0,2],它是一个有界变差函数,那么它的全变差T02(f)=___。(本题4.0分)
答案是：答案: (1) 4;
设f是x上的实函数,若对任意的有限实数α,集合X(f>α)恒可测,则称f为x上的___函数。(本题4.0分)
答案是：答案: (1) 可测;
设E是R中有理数全体,则它的测度mE= ___。
答案是：答案: (1) 0;
集合列{An},其中An=(1/n,2),则UAn=___)。(本题4.0分)
答案是：答案: (1) （0,2）;
有界变差函数一定是绝对连续函数。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
解析: 无
闭区间[0,1]中的所有无理数构成的集合的测度小于1。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
开区间(0,1)与闭区间[0,1]不能建立一一对应,故它们的基数一定不同。( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
两个集合的基数相等,则它们的外侧度相等。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
解析: 无
狄雷克雷函数不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: A
解析: 无
若|f(x)|可积,那么f(x)也一定可积。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: A
解析: 无
任何无限集均含有一个可列子集。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: A
可测集的任何子集都是可测集。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
解析: 无
若m*E=0,则E为可测集。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: A
可列个闭集的并集仍未闭集。 ( )(本题3.0分)
A. 正确
B. 错误
答案是：答案: B
解析: 无
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